Question

泰勒公式中有余项吗？

Answer 1

余项就是展开式与原函数的误差，余项越少，误差就越小。在一定允许的范围内，余项可以忽略不计，即所谓的无穷小。

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒公式有好几种余项：皮亚诺、拉格朗日、柯西、积分余项等。

1、佩亚诺（Peano）余项：

这里只需要n阶导数存在。

2、施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：

其中θ∈（0,1），p为任意正整数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项）

3、拉格朗日（Lagrange）余项：

其中θ∈（0,1）。

4、柯西（Cauchy）余项：

其中θ∈（0,1）。

5、积分余项：

扩展资料

泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：

1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。

4、证明不等式。

5、求待定式的极限。

参考资料来源：百度百科-泰勒公式

Answer 2

在数学中，泰勒公式是将函数表示为无限级数或无限项和的一种方法。这是一种使用一系列项逼近函数的方法，随着项的数量增加，这些项变得越来越精确。
泰勒公式如下：
f（x）=f（a）+（x-a）f'（a）+x-a）^2f''（a）/2！+（x-a）^3f“”（a）/3！+。。。
其中，f（x）是被近似的函数，f’（a）、f’’（b）和f’’’（c）是函数在某一点a处的一阶、二阶和三阶导数，项（x-a）^n表示x和a之间差值的递增幂。
在泰勒公式中，无限级数项用于尽可能接近函数f（x）。随着级数中项的数量增加，近似值变得更精确。然而，并不总是能够使用泰勒公式精确地表示函数，并且可能存在表示近似函数和实际函数之间的差的余数或误差项。剩余项可表示为：
R_n（x）=f（x）-P_n（x）
其中P_n（x）是n阶泰勒多项式或使用级数的前n项的函数的近似。余项表示近似函数和实际函数之间的误差，并且随着级数中的项数增加而减小。