Question

均值不等式常见题型及解析

Answer 1

均值不等式常见题型及解析如下：

一、若a，b，c是互不相等的实数，求证：a2+b2+c2>ab+bc+ac。证明：∵ a，b，c是互不相等的实数。∴ a2+b2>2ab， a2+c2>2ac， b2+c2>2bc。上面三个式子相加得 2a2+2b2+2c2>2ab+2bc+2ac。即a2+b2+c2>ab+bc+ac。

二、均值不等式基本性质

1、如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y（对称性）。

2、如果x>y，y>z；那么x>z（传递性）。

3、如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z（加法原则，或叫同向不等式可加性）。

4、如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz（乘法原则）。

5、如果x>y，m>n，那么x+m>y+n（充分不必要条件）。

均值不等式，又称为平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。