Question

求圆心在直线x-3y=0上,与y轴相切,且被直线y=x截得的弦长为2√7的圆的方程.

Answer 1

解:
设圆心为(a,b),则由已知条件,可知,a=圆半径r,故得圆的方程为:
(x-a)^2+(y-b)^2=a^2
圆被直线y=x截得的弦长为2√7,得下方程组:
y=x.(1)
(x-a)^2+(y-b)^2=a^2.(2)
解上方程组
(x-a)^2+(x-b)^2=a^2
2x^2-2(a+b)x+b^2=0
得
x1,2=[a+b±√(a^2+2ab-b^2)]/2
y1,2=[a+b±√(a^2+2ab-b^2)]/2
|x1-x2|=|y1-y2|=√(a^2+2ab-b^2)
已知圆被直线y=x截得的弦长为2√7,则
(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(2√7)^2
2*(a^2+2ab-b^2)=28
a^2+2ab-b^2=14.(3)
圆心在直线x-3y=0上则
a-3b=0
a=3b代入(3),得
9b^2+6b^2-b^2=14
14b^2=14
b=±1
a=3b=±3
得圆的方程为:
(x±3)^2+(y±1)^2=9
答:圆心在直线x-3y=0上,与y轴相切,且被直线y=x截得的弦长为2√7的圆的方程有两个:(x±3)^2+(y±1)^2=9