Question

已知抛物线C：x2=2py(p>0)上一点A（t,4)到其焦点F的距离为

已知抛物线C：x2=2py(p>0)上一点A（t,4)到其焦点F的距离为33/8.
(1)求抛物线C的方程及实数t的值；
（2）若直线L：y=kx=1与抛物线C交于D,B两点，线段BD的重点为M。过M做x轴的垂线交抛物线于点N，过N点所做曲线C的切线为L1；
1、求证：L1平行于直线L；
2、过B,D分别做MN平行线交L1依次为B1,D1两点，求四边形BB1D1D面积的最小值及对应的k值。

Answer 1

解：（1）x2=2py(p>0)这是一个开口向上，顶点在原点，关于Y轴对称的抛物线。那么根据抛物线的性质，到焦点F（0，p/2),的距离和到准线k(y=-p/2)的距离相等.
即a点到准线的距离为4-(-p/2)=33/8,解得p=1/4，抛物线C方程为x²= ½ y 。
（2）证明：设直线L:y=kx+1交抛物线C于DB两点的坐标分别为D（x1，y1)、B(x2,y2)并且y1=2（x1）²，y2=2（x2）²,k=(y2-y1)/(x2-x1)=2(x1+x2)
M为DB中点，M坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2),即((x1+x2)/2,(x1)²+(x2)²)
N点的横坐标为x0=(x1+x2)/2，纵坐标为y0=（x1+x2）²/2(抛物线方程求得）
过N点的切线方程L1：x*(x0)=p(y+y0),
将p=1/4，x0，y0带入得y=2(x1+x2)*x-（x1+x2）²/2
L1的斜率为2(x1+x2)=k 即L1：y=kx-k²/8
即L1和L平行。当k=0时，L1为X轴，L为y=1，仍然满足。
2、四边形BB1D1D是平行四边形，
面积S=|x1-x2|* (1+k²/8),当k=0时S取得最小值。