Question

已知抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点A（a，4）到其准线的距离为174．（Ⅰ）求p与a的值；（Ⅱ）设抛物线C上

已知抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点A（a，4）到其准线的距离为174．（Ⅰ）求p与a的值；（Ⅱ）设抛物线C上动点P的横坐标为t（0＜t＜2），过点P的直线交C于另一点Q，交x轴于M点（直线PQ的斜率记作k）．过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN恰好是C的切线，问k2+tk-2t2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）可得抛物线的准线方程为y＝?

p

2

，由题意可得4+

p

2

＝

17

4

，解得p＝

1

2

．
∴抛物线的方程为x²=y．把点A（a，4）代入此方程得a²=4，解得a=±2．
∴a=±2，p＝

1

2

．
（Ⅱ）由题意可知：过点P（t，t²）的直线PQ的斜率k不为0，则直线PQ：y-t²=k（x-t），
当y=0时，x＝t?

t2

k

，∴M(t?

t2

k

，0)．
联立

y?t2＝k(x?t) x2＝y

消去y得（x-t）[x-（k-t）]=0，
解得x=t，或x=k-t．∴Q（k-t，（k-t）²），
∵QN⊥QP，∴kQN＝?

1

k

，∴直线NQ：y?(k?t)2＝?

1

k

[x?(k?t)]，
联立

y?(k?t)2＝? 1 k [x?(k?t)] x2＝y

，消去y化为[x?(k?t)][x+(k?t)+

1

k

]＝0，解得x=k-t，或x＝t?k?

1

k

．
∴N