Question

求解一道初等数论问题

设a、b∈N*，满足a+b=60，且(a,b)+[a,b]=84，求a和b
要求详解，谢谢。

Answer 1

设a=kp,b=kq,(p,q)=1,k>0,p<q
则(a,b)=k,[a,b]=k|pq|
k(p+q)=60
k(1+|pq|)=84
所以12=(60,84)=k(p+q,1+pq),k|12
由于k>0，则k=1,2,3,4,6,12
而|pq|=84/k-1不是质数，k=3，4，12
当k=3时，p+q=20,|pq|=27=3^3,由于(p,q)=1,故|p|和|q|中一个为27，另一个为1，显然无解
当k=4时，p+q=15,|pq|=20=5*2^2,同样无解
当k=12时，p+q=5,|pq|=6，有解(-1,6)和(2,3)
因此a=-12,b=72或者a=24,b=36
故满足条件的数组为(-12,72)、(72,-12)、(24,36)、(36,24)