Question

求下列级数的和函数:无穷Σn=1x^n/n

Answer 1

该级数为幂级数，其通项为 a_n = x^n/n。对于一个幂级数而言，其和函数可以通过对其逐项积分得到。
因此，我们对该级数的通项逐项积分：
∫a_n dx = ∫x^n/n dx = x^(n+1)/(n+1) + C
其中，C为积分常数。由于在求和函数时，常数项并不影响求和的结果，因此我们可以将积分常数设为0。
因此，求和函数为：
f(x) = Σn=1^∞ x^n/n = ∫(Σn=1^∞ x^n/n) dx = ∫(1/x) d(Σn=1^∞ x^n)
对右边的积分进行计算，得到：
f(x) = ∫(1/x) d(1/(1-x)) = -ln(1-x)
因此，该级数的和函数为 f(x) = -ln(1-x)。

Answer 2

该级数是一个幂级数，收敛半径为1。因此，当|x|<1时，该级数收敛，且收敛于函数f(x)=ln(1+x)。当|x|=1时，级数发散。当|x|>1时，级数发散。
因此，该级数的和函数为：
f(x) = {ln(1+x) when |x|<1
{undefined when |x|=1
{divergent when |x|>1