Question

初中几何证明求助

如图，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=120°，点D为直线AC右上方一点，且满足∠ADC=6O°，连接BD，点E为线段BD上一点，连接EA，EC，且满足∠EAD=60°，试证明AD=CD+2AE.

Answer 1

证明：延长BA至F，使AF=BA，连接FC、FD；延长AE和DC，相交于G；

因角BAC=120度，则有角CAF=60度，又AF=BA=AC，所以三角形AFC是等边三角形；

因角ADC=角EAD(即角ADG=角GAD)=60度，所有三角形ADG也是等边三角形；

又四边形ACDF四点共圆，因为边AC对应的角AFC=角ADC=60度，所以有边AF对应的角FDA=角FCA=60度，所以有角EAD=角FDA=60度，即 AE//FD ，所以有 FD=2AE；

对三角形ACD与三角形AFD，因AC=AF,AG=AD,且有角GAC=角DAF(这2个角+角CAD均为60度)，所以三角形ACG与三角形AFD全等；所以有AD=DG=DC+CG=DC+FD=DC+2AE，得证。

注：题中AB=AC即可，=3没有意义。

Answer 2

证明：用复数法，设AE=h*AD，AD=k*CD，Z_DC=Z
因为∠ADC=60°，所以Z_DA=k*Z_DC*e^(-iπ/3)=k*Z*e^(-iπ/3)
Z_AC=Z_AD+Z_DC=-k*Z*e^(-iπ/3)+Z=Z*[1-k*e^(-iπ/3)]
因为∠BAC=120°，且AB=AC，所以Z_AB=Z_AC*e^(-i2π/3)=Z*[e^(-i2π/3)-k*e^(-iπ)]
Z_DB=Z_DA+Z_AB=Z*[k*e^(-iπ/3)+e^(-i2π/3)-k*e^(-iπ)]
因为∠EAD=60°，所以Z_AE=h*Z_AD*e^(-iπ/3)=-kh*Z*e^(-i2π/3)
Z_EB=Z_EA+Z_AB=Z*[kh*e^(-i2π/3)+e^(-i2π/3)-k*e^(-iπ)]
因为Z_DB和Z_EB在同一直线上，方向相同，所以Z_DB与Z_EB的比值应为正实数

Z_DB/Z_EB={Z*[k*e^(-iπ/3)+e^(-i2π/3)-k*e^(-iπ)]}/{Z*[kh*e^(-i2π/3)+e^(-i2π/3)-k*e^(-iπ)]}
=[k*e^(-iπ/3)+e^(-i2π/3)-k*e^(-iπ)]/[kh*e^(-i2π/3)+e^(-i2π/3)-k*e^(-iπ)]
=[k*e^(i2π/3)+e^(iπ/3)-k]/[kh*e^(iπ/3)+e^(iπ/3)-k]
=[(1-3k)/2+i(√3k+√3)/2]/[(1+kh-2k)/2+i(√3kh+√3)/2]
(1-3k)/(1+kh-2k)=(√3k+√3)/(√3kh+√3)
kh+1-3hk^2-3k=k+1+hk^2+kh-2k^2-2k
2hk=k-1
h=(k-1)/2k
所以CD+2AE=(1/k)*AD+2h*AD
=[1/k+(k-1)/k]*AD
=AD
证毕