Question

已知函数f(x)是奇函数，且满足2f(x+2)+f(-x)=0

已知函数f(x)是奇函数，且满足2f(x+2)+f(-x)=0,当0<x<2时，f(x)=lnx+ax (a<-1/2)，当
-4<x<-2时，f(x)的最大值为-4
1，求实数a的值
2，设b不等于0，函数g(x)=1/3bx^3-bx,1<x<2,若队任意的1<x1<2总存在1<x2<2，使f(x1)-g(x2)=0，求实数b的取值范围

Answer 1

f(x)是奇函数，且满足2f(x+2)+f(-x)=0，
∴2f(x+2)=-1f(-x)=f(x).
当0<x<=2时，f(x)=lnx+ax(a<-1/2)，当-4<x<=-2时，0<x+4<=2,
f(x)=2f(x+2)=4f(x+4)=4[ln(x+4)+a(x+4)],
f’(x)=4[1/(x+4)+a]>0,
∴f(x)的最大值为f(-2)=4(1/2+a)=-4,a=-3/2.
2.f(x)=lnx-3x/2,f’(x)=1/x-3/2<0,
∴A={f(x)|1<x<2}=（ln2-3，0）.
g’(x)=b(x+1)(x-1),
b>o时g’(x)>0,B={g(x)|1<x<2}=(-2b/3,2b/3);
b=0时B={0};
b<0时B=(2b/3,-2b/3).
依题意，B包含于A,
∴b<=0,且2b/3>=ln2-3,
∴（3/2）ln2-9/2<=b<=0,为所求。