Question

df(t)+2/(1-t^2)f(t)=t/(1-t^2)其中fv(0)=2求f(t)

Answer 1

这是一个常微分方程，我们可以使用常系数齐次线性微分方程的解法来求解。
首先，我们对方程进行重写，将 2/(1-t^2) 表示为 -(2/(t^2-1))：
df(t) + [2/(t^2-1)]f(t) = t/(1-t^2)
接下来，我们要求得方程的齐次解。将非齐次方程转化为齐次方程，我们应用变量替换 u(t) = f(t)/(t^2-1)，然后求解 du(t)/dt：
du(t)/dt = [t/(t^2-1)]
现在我们可以求解 du(t)/dt 的积分得到 u(t) 的齐次解，然后将 u(t) 换回 f(t)：
u(t) = ∫[t/(t^2-1)] dt
对右侧的积分进行计算，得到：
u(t) = -log|t-1| + log|t+1| + C
其中 C 是常数。
将 u(t) 换回 f(t) 并代入初值条件 f(0) = 2，我们可以求得 C 的值：
f(t)/(t^2-1) = -log|t-1| + log|t+1| + C
代入 t = 0 及 f(0) = 2，我们有：
2/(0^2-1) = -log|0-1| + log|0+1| + C
2 = log|1| + log|1| + C
2 = 2 + C
因此，C = 0。
将 C = 0 代入 f(t)/(t^2-1) 的方程中，我们可以得到 f(t) 的表达式：
f(t)/(t^2-1) = -log|t-1| + log|t+1|
乘以 (t^2-1) 并整理，得到：
f(t) = -log|t-1|(t^2-1) + log|t+1|(t^2-1)
因此，f(t) 的解为：
f(t) = (-(t^2-1) * log|t-1|) + ((t^2-1) * log|t+1|