Question

十进制转化为二进制的方法我知道，但是有没有人知道它的原理是什么？也就是有没有人能够证明它的正确性？

.十进制数与非十进制数之间的转换
(1)十进制数转换成非十进制数
把一个十进制数转换成非十进制数（基数记作R）分成两步.整数部分转换时采用“除R取余法”；小数部分转换时采用“乘R取整法”。
(2)非十进制数转换成十进制数
非十进制数(基数记作R，第j个数位的位权记作Rj)转换成十进制数的方法：按权展开求其和。
也就是“除R取余法”、“乘R取整法”和“按权展开求和法”的证明。
最好能够通俗一点的。小弟在此多谢大家啦！
主要是乘R取整法的证明

Answer 1

你想一下10进制是怎样的？
1234是不是等于1*10^3+2*10^2+3*10^1+4*10^0
类比下
二进制的101是不是1*2^2+0*2^1+1*2^0
也就是说10进制的5里面包含一个4和一个1，转为2进制就是101，
这是2进制转10进制的思想，
而且你有没有注意到，一个2进制数去掉最低位得到的数一定是偶数？
也就是一个n位的二进制数x=an……a3a2a1，满足x=2*(an……a2)+a1
类似10进制中1234=123*10+4
那么给出一个10进制的数11吧
11/2=5.....1，这里余数1就是转化的2进制数的最低位，因为除了最低位之外的都可以被2除，也就是11=5*2+1
好，继续
5=2*2+1
2=1*2+0
1=0*2+1
所以11化为2进制就是1011
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乘R取整法用于小数部分，原理和除R取余是一样的
比如一个十进制小数X化为二进制是0.abc，是不是可以表示成a*2^-1+b*2^-2+c*2^-3
那么2x也相当于0.abc*2=a*2^0+b*2^-1+c*2^-2，你看小数点后第一位的a是不是提到整数部分来了，取整也就是获得a的值，接下去同理

Answer 2

注意，2进制每满2就进1,当我们把一个数除以2后，就知道这个数在某个位置要进多少次位，余数不满足2而被余下置于后置位。
以43为例，我们想象将43全部置于二进制的末位，这样肯定不行，因为要满2就要进1次位,所以我们可以计算43要进位多少次和留在末位的数字。
43÷2＝21...1 21为进位到倒数第二位的数（进位次数），1为末位因不能进位而被剩下。
倒数第二位的21因远远超过2，所以需要进位，满2进1
21÷2＝10...1
同理
10÷2＝5...0
5÷2＝2...1
2÷2＝1...0
1小于2，为首位数字。
所以答案为101011
小数简单易懂的还没想到，网上有公式，可以参考。