Question

已知f(x)=lg(a^x-b^x)(a,b为常数)

已知f(x)=lg(a^x-b^x)(a,b为常数)
1、当a,b>0且a≠0时,f(x)的定义域
2、当a>1>b>0时，判断f(x)在定义域上的单调性，并用定义证明
[注：a^x为a的x次方，b^x为b的x次方]
请给出详细过程，谢谢

Answer 1

1 定义域要满足a^x-b^x>0 如果a>b 那么x>1 如果a<b 那么0<x<1 如果a=b 那么x为任何值都无意义
2 f(x1)-f(x2)=lg(a^x1-b^x1)/(a^x2-b^x2)
要判断单调性 就要判断(a^x1-b^x1)/(a^x2-b^x2)与1的大小关系
由于分母是大于0的 那么就要判断(a^x1-b^x1)和(a^x2-b^x2)的大小关系
两式相减得到a^x1*(1-a^(x2-x1))-b^x1*(1-b^(x2-x1))
如果x1>x2 那么这个式子第一部分里面a^(x2-x1)<1 所以第一部分是正的 第二部分里面b^(x2-x1)<1 所以第一部分是负的 相减得到一个正数

所以说是单调递增的