Question

初二几何函数综合题求解

如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为BC上一点，且PB=PD，DE垂直AC，垂足为点E

1. 求PE=BO
2. 设AC=2，AP=x，四边形PBDE的面积为y，求y与X之间的函数关系式，并写出定义域。

Answer 1

1，证明三角形PBD全等于三角形PDE，(PB=PD,直角等，角PBD=角PDB,角PBD=角PBO+角OBD，角PDB=角C+角DPC，易证，角C=45度，角OBD=45度，所以，角PBO=角DPC，所以全等（AAS）)
2，思路：该问有几种解法，一，y=三角形ABC-三角形ABD-三角形DEC；二，y=三角形PBO+梯形EOBD，
给出二的解法：易得：OB=1/2(AC)=1，OA=OC=1，由一问知：PE=OB=1，所以：OA=PE，所以,OE=PA=x，S三角形pob=1/2（PO*OB）=1/2(1-x）*1)=（1/2）*（1-x）；DE=EC=1-x，S梯形EOBD=(1/2)*(DE+OB)*OE=(1/2)*(1-x+1)*x=(1/2)*(2-x)*x，所以，y=（1/2）*（1-x）+(1/2)*(2-x)*x=化简一下。0<x<1（因为P只能在A和O点间移动）

Answer 2

1、作等腰三角形△PBD的高PG交BD于H，连结DH，可以证明△BDH为等腰直角三角形，从而有OE=DH，再证明AP‖DH及AP=DH，所以四边形AHDP为平行四边形，即有AP=DH=OE，所以AP=OE，就是PE=BO；
2、所求的四边形的面积=△ABC的面积－△ABP的面积－△DEC的面积，由于AP=x，所以这三个三角形的面积都可以逐一求解，得到y=1－(1/2×x)－(1/2)(1－x)^2。至于此函数的定义域，可以结合图像得到，0<x<1。