Question

高中数学问题（双曲线）

过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一个焦点，若 角PF1Q=90°，则双曲线的离心率是（ ）

写出过程

Answer 1

设双曲线为（x²/a²）-（y²/b²）=1
由于PQ过F2，所以P,Q,F2的横坐标都是c。且由双曲线的对称性可知，P和Q关于F点对称的，也就是P和Q的纵坐标是相反数。那么设P(c，y0），Q（c，-y0）
而F1（-c，0）
那么向量F1P=（2c，y0），向量F1Q=（2c，-y0）
由于角PF1Q为直角
那么向量F1P*向量F1Q=0
（2c，y0）*（2c，-y0）=0
4c²-y0²=0
由于P在双曲线上，所以P满足（c²/a²）-（y0²/b²）=1，又因为c²/a²=e²
把上式变形，得y0²=b²（e²-1）
代入4c²-y0²=0，有4c²-b²（e²-1）=0
即4c²-（c²-a²）（e²-1）=0
同时除以a²，有4e²-（e²-1）（e²-1）=0
整理上式，有e^4-6e²+1=0
解得e²=3±2√2
所以e²=3+2√2=（1+√2）²或e²=3-√2=（1-√2）²
解上面的2个e²，有4个不同的解
但是双曲线的e必须大于1，所以可以得到唯一的一个答案：e=1+√2