Question

在等比数列{an}中,an>0,且a1a5+2a3a5+a2a8=25

在等比数列an中，an>0(n∈N*),公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25,a3与a5的等比中项为2，an=2^(5-n),设bn=5-n,数列bn的前n项和为Sn，当S1/1+S2/2+…+Sn/n最大时，求n的值,写下详细过程谢谢！~

Answer 1

a1a5+2a3a5+a2a8=25
(a3)^2+2a3a5+(a5)^2=25
(a3+a5)^2=25
a3+a5=5

解：已知a1a5+2a3a5+a2a8=25,且2是a3与a5的等比中项,an＞0(n∈N+),公比q∈(0,1)
则4=a3*a5且(a1a5+2a3a5+a2a8)/a3*a5=25/4
整理得到(4q^2-1)(q^2-4)=0
得到q=1/2
a3*a5=a1^2*q^6=4
a1=16
则通项式an=16*(1/2)^(n-1)
an=16*2^(1-n)
=2^(5-n)

前n项和Sn=n(9-n)/2
Sn/n=(9-n)/2
S1/1=4
S(n-1)/(n-1)=[9-(n-1)]/2=(19-n)/2
Sn/n-S(n-1)/(n-1)=(9-n)/2-(19-n)/2
=9/2-n/2-19/2+n/2
=-5

所以Sn/n是等差数列
S1/1+S2/2+......+Sn/n
=[4+(9-n)/2]*n/2
=(-n^2+17n)/4

这是个抛物线的离散型
得到靠近对称轴的两个值n=8，9
依次代入得到n=8,9时候的数值都是18
所以满足最大值的时候的n的数值是8或者9