Question

如图！在△OAB中，向量OC=1/4OA, 向量OD=1/2OB, AD与BC相交与M点，设OA=a,OB=b.

(1)用a,b表示OM
(2)在已知线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F，使EF过点M，设OE=pOA,OF=qOB,求证：1/7p+3/7q=1

Answer 1

1、BC=OC－OB=(1/4)a－b；

2、OM=OC＋CM=(1/4)a＋(1/2)CB=(1/4)a＋(1/2)[－(1/4)a＋b]=(1/8)a－(1/2)b。

Answer 2

（1）设DM=λDA,CM=υCB
OM=OD+DM=1/2OB+λDA=1/2OB+λ(OA-OD)=1/2OB+λ(OA-1/2OB)=λOA+(1-λ)/2OB
OM=OC+CM=1/4OA+υCB=1/4OA+υ(OB-OC)=1/4OA+υ(OB-1/4OA)=(1-υ)/4OA+υOB
∴λOA+(1-λ)/2OB=(1-υ)/4OA+υOB
λ=(1-υ)/4
υ=(1-λ)/2
λ=1/7,υ=3/7
OM=1/7OA+6/7OB