Question

请问如果f(x),g(x)都在点x0处间断,那么f(x)+g(x)和f(x)-g(x)在点x0处的连续性是怎样呢？

Answer 1

可能间断也可能连续
连续的例子，
如果这两个函数满足f=g那么f-g=0必然在x0处连续
同样的，如果满足f=-g那么f+g=0必然在x0处连续
但是f+g和f-g不可能同时在x0，下面反证，
若f+g，f-g都在x0处连续，则
(f+g)(x0+)=(f+g)(x0-)，即f(x0+)-f(x0-)=-(g(x0+)-g(x0-))
(f-g)(x0+)=(f-g)(x0-)，即f(x0+)-f(x0-)=g(x0+)-g(x0-)
则f(x0+)-f(x0-)=g(x0+)-g(x0-)=0
上式说明f，g在x0处连续，与题设矛盾
其中f(x0+)表示f在x0处的右极限，f(x0-)表示在x0处的左极限
间断的例子
令f(x)=0，x<0；f(x)=1，x>=0
g(x)=0，x<0；g(x)=2，x>=0
f，g在0处间断，且f+g，f-g在0处都间断