Question

高三数学数列题

已知{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6a(n-1)（n>=2,n∈N+）,且当λ=2,或λ=-3时,数列{an+1+λan}是等比数列.
1.求 数列 {an}的通项公式。
2.设3的n次方 bn=n[(3的n次方）-an].且|b1|+|b2|+|bn|<m.对于n,n∈N恒成立.求m的取值范围.

Answer 1

已知{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6a(n-1)（n>=2,n∈N+）,且当λ=2,或λ=-3时,数列{an+1+λan}是等比数列.
1.求 数列 {an}的通项公式。
2.设3的n次方 bn=n[(3的n次方）-an].且|b1|+|b2|+|bn|<m.对于n,n∈N恒成立.求m的取值范围.
(1)解析：∵{an}满足a1=5,a2=5,a(n+1)=an+6a(n-1)（n>=2,n∈N+）
a1=5,a2=5,a3=35,a4=65,a5=265,a6=665,a7=2315
∵当λ=2,或λ=-3时,数列{a(n+1)+λan}是等比数列
S1=5+2*5=15 -10
S2=35+2*5=45 20
S3=65+2*35=135 -40
S4=275+2*65=405 80
S5=665+2*275=1215 -160
∴当λ=2 q=3 ,λ=-3 q=-2
a(n+1)+2an=(a2+2a1)3^(n-1)=15*3^(n-1) (1)
a(n+1)-3an=(a2-3a1)(-2)^(n-1)=-10(-2)^(n-1) (2)
(1)-(2)得5an=15*3^(n-1)+10(-2)^(n-1)
an=3*3^(n-1)+2(-2)^(n-1)=3^n-(-2)^n (n=1,2,3,...)

(2) 解析：设3^n*bn=n(3^n-an)
3^n*bn=n(-2)^n==>bn=n*(-2/3)^n==>|bn|=n*(2/3)^n
又|b1|+|b2|+…+|bn|<m.对于n,n∈N恒成立
S=1*2/3+2*(2/3)^2+3*(2/3)^3+…+ n*(2/3)^n
S*2/3=1*(2/3)^2+2*(2/3)^3+3*(2/3)^4+…+ n*(2/3)^(n+1)
S-S*2/3=1*2/3+(2/3)^2+(2/3)^3+…+(2/3)^n-n*(2/3)^(n+1)
=1*2/3+(2/3)^2+(2/3)^3+…+(2/3)^n-n*(2/3)^(n+1)
=2[1-(2/3)^n]-n*(2/3)^(n+1)
∴S=6[1-(2/3)^n]-3n*(2/3)^(n+1)
当n→∞时，S→6
∴m的取值范围[6，+∞)

Answer 2

【1】通项an=[3^n]-[(-2)^n].n=1,2,3,...【2】|bn|=n×(2/3)^n.n=1,2,3,...且|b1|+|b2|+...|bn|＜6.∴m≥6.