Question

1-2002这2002个数中最多可取出多少个数,使得这些数中任意3个数的和都不能被7整除?

Answer 1

此题可以归结为对余数的考察。

自然数中任意一个数除以7，其余数为0、1、2、3、4、5或6，那么可以根据余数的不同构造集合Sx（x=0、1、2、3、4、5或6），Sx为除以7余数为x的集合，另外Sx也可以表示为集合Sx中的任何一个元素。

在这里，把1-2002这2002个数分为7个集合Sx，由于2002=7×286，可知这7个集合各有286个元素。

任取一个集合，比如S1，集合S1中任取三个数，那么这三个数之和除以7,余数为1×3=3；比如S2，集合S2中任取三个数，那么这三个数之和除以7,余数为2×3=6。
任取二个集合，比如S1和S2，其中在集合S1取两个数，在集合S2中取一个数，那么这三个数之和除以7,余数为1+1+2=4。
等等...
（这个可以自己检验下，有定理可查）

基于以上说明，回到此题：
任取一个集合Sx（x≠0），以及集合S0中的2个数，以此构成一个组合S0(2)_Sx(286)（括号里的数表示取几个数），这个组合满足题意。比如，组合S0(2)_S1(286)中取7、1、8，这三个数之和为16，除以7余数为2；取7、14、8，这三个数之和为29，除以7余数为1。比如，组合S0(2)_S5(286)中取7、5、12，这三个数之和为24，除以7余数为3。这一类组合共有6个，每个组合都有2+286=290个数。
（为什么集合S0只取2个数，这个Lz自己想了）

任取二个集合Sx、Sy（x≠0、y≠0、x≠y），以此构成一个组合Sx(286)_Sy(286)，那么满足题意的组合有S1_S2、S1_S4、S1_S6、S2_S4、S2_S5、S3_S4、S3_S5、S3_S6、S5_S6（那个“(286)”偷懒省略掉了），这一类组合共有9个，每个组合都有286×2=572个数。

任取三个集合Sx、Sy、Sz（x≠0、y≠0、z≠0、x≠y≠z、x≠z），以此构成一个组合Sx(286)_Sy(286)_Sz(286)，经检验不存在这样的组合。

任取二个集合Sx、Sy（x≠0、y≠0、x≠y），以及集合S0中的2个数，以此构成一个组合S0(2)_Sx(286)_Sy(286)，那么满足题意的组合有S0_S1_S2、S0_S1_S4、S0_S2_S4、S0_S3_S5、S0_S3_S6,这一类组合共有5个，每个组合都有286×2+2=574个数。

当然，还有很多其他类型的组合，这里就不全列举了。

下一步的工作，就是如何去组合余数，使得构造的这个组合有更多的元素。

最后，得到S0_S1_S2、S0_S1_S4、S0_S2_S4、S0_S3_S5、S0_S3_S6,这一类组合的元素最多，574个。

OVER...