线性代数 两个矩阵可交换的条件是什么?
下面是线性代数两个矩阵可交换矩阵的充分条件：
(1) 设A , B 至少有一个为零矩阵,则A , B 可交换;
(2) 设A , B 至少有一个为单位矩阵, 则A , B可交换;
(3) 设A , B 至少有一个为数量矩阵, 则A , B可交换;
(4) 设A , B 均为对角矩阵,则A , B 可交换;
(5) 设A , B 均为准对角矩阵（准对角矩阵是分块矩阵概念下的一种矩阵。即除去主对角线上分块矩阵不为零矩阵外，其余分块矩阵均为零矩阵）,且对角线上的子块均可交换，则A , B 可交换。
扩展资料：
线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。设A , B 可交换,
(1) 若A , B 均为对合矩阵,则AB 也为对合矩阵;
(2) 若A , B 均为幂等矩阵, 则AB , A + B -AB 也为幂等矩阵;
(3) 若A , B 均为幂幺矩阵,则AB 也为幂幺矩阵;
(4) 若A , B 均为幂零矩阵,则AB , A + B 均为幂零矩阵.
对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。
参考资料来源：百度百科——可交换矩阵
参考资料来源：百度百科——线性代数
由矩阵的理论可知，矩阵的乘法不同于数的乘法，矩阵的乘法不满足交换律,即当矩AB有意义时，矩阵BA未必有意义，即使AB, BA都有意义时它们也不一定相等。但是当A, B满足一定条件时，就有AB= BA,此时也称A与B是可交换的。
交换的条件
下面是可交换矩阵的充分条件：
1、设A、B至少有一个为零矩阵，则A、B可交换；
2、设A，B至少有一个为单位矩阵则A、B可交换；
3、设A，B至少有一个为数量矩阵，则A、B可交换；
4、设A，B均为对角矩阵，则A，B可交换；
5、设A，B均为准对角矩阵准对角矩阵是分块矩阵概念下的一种矩阵。即除去主对角线上分块矩阵不为零矩阵外，其余分块矩阵均为零矩阵，则A，B可交换；
6、设A*是A的伴随矩阵，则A*与A可交换；
7、设A可逆，则A与其逆矩阵可交换；
注：A的逆矩阵经过数乘变换所得到的矩阵也可以与A进行交换。
8、A^n（n=0，1。。。），n属于N、可与A^m（m=0，1。。。），m属于N、交换。这一点由矩阵乘法的结合律证明。
定理2
1、设AB=αA+βB，其中α，β为非零实数，则A，B可交换；
2、设Am+αAB=E，其中m为正整数，α为非零实数，则A，B可交换。
定理3
1、设A可逆，若AB=O或A=AB或A=BA，则A，B可交换；
2、设A，B均可逆，若对任意实数k，均有A=A-k·E、B，则A，B可交换。
矩阵可交换的几个充要条件
定理4
下列均是A，B可交换的充要条件：
1、A²-B²=(A+B)(A-B)=(A-B)(A+B)
2、A±B、²=A²±2AB+B²；
3、AB、=AB；
4、AB、=AB
定理5
可逆矩阵A，B可交换的充要条件是：
（AB）=A·B
定理6
1、设A，B均为（反）对称矩阵，则A，B可交换的充要条件是AB为对称矩阵；
2、设A，B有一为对称矩阵，另一为反对称矩阵，则A，B可交换的充要条件是AB为反对称矩阵。
扩展资料：
交换的性质
性质1
设A，B可交换，则有：
1、A·B=B·A，（AB）=AB，其中m，k都是正整数；
2、Af（B）=f（B）A，其中f（B）是B的多项式，即A与B的多项式可交换；
3、A-B=（A-B）（A+AB…+B）=（A+AB+…+B）（A-B）
4、（A+B）^m=（矩阵二项式定理）
性质2
设A，B可交换，
1、若A，B均为对合矩阵，则AB也为对合矩阵；
2、若A，B均为幂等矩阵，则AB，A+B-AB也为幂等矩阵；
3、若A，B均为幂幺矩阵，则AB也为幂幺矩阵；
4、若A，B均为幂零矩阵，则AB，A+B均为幂零矩阵.
性质3
若A，B可交换，则A，B可同时上三角化。
参考资料来源：百度百科——可交换矩阵
