Question

过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y=0的交点且面积最小的圆的方程是？

Answer 1

以直线2X+Y+4=0与圆X^2+Y^2+2X-4Y=0 的交点A,B所成线段AB为直径时是最小的圆

由 2X+Y+4=0 得Y=-2X-4 代入 X^2+Y^2+2X-4Y=0
得 X^2+(-2X-4)^2+2X-4(-2X-4)=0
化简，得 5X^2+26X+32=0
则 (5x+16)(x+2)=0
求得 x1=-16/5 x2=-2
从而 y1=-2x1-4=-2*(-16/5)-4=12/5
y2=-2x2-4=-2*(-2)-4=4-4=0
A坐标为（-16/5，-16/5），B坐标为（6/5，12/5）

所以圆心坐标为 x=(X1+X2)/2=(-16/5-2)/2=-13/5
y=(Y1+y2)/2=(12/5+0)/2=6/5
半径为 r=1/2√[(16/5-2)^2+(12/5)^2]
=3/5*√5 (√表示根号)

∴ 所求的的方程是 (x+13/5)^2+(y-6/5)^2=r^2
即 (x+13/5)^2+(y-6/5)^2=9/5

Answer 2

要使圆面积最小，则圆是以弦长为直径，弦的重点为圆心的圆
设交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
(x+1)^2+(y-2)^2=5
y=-4-2x
==>5x^2+26x+32=0
==>x1+x2=-26/5,y1+y2=-8-2(x1+x2)=12/5
==>弦的重点坐标(-13/5,6/5)
半弦长^2=5-[(1-13/5)^2+(2-6/5)^2]=9/5
==>面积最小的圆的方程是:(x+13/5)^2+(y-6/5)^2=9/5