Question

在图中，直线MN与线段AB相交于点O，角1=角2=45度。

(1)将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB，求证：AC垂直BD，AC=BD

Answer 1

（1）解：AO=BD，AO⊥BD；

（2）证明：如图2，过点B作BE∥CA交DO于E，

则∠ACO=∠BEO．

又∵AO=OB，∠AOC=∠BOE，

∴△AOC≌△BOE．

∴AC=BE．

又∵∠1=45°，

∴∠ACO=∠BEO=135°．

∴∠DEB=45°．

∵∠2=45°，∴BE=BD，∠EBD=90°．

∴AC=BD．

延长AC交DB的延长线于F，如图．

∵BE∥AC，

∴∠AFD=90°．

∴AC⊥BD．

（3）解：如图3，过点B作BE∥CA交DO于E，

则∠BEO=∠ACO．

又∵∠BOE=∠AOC，

∴△BOE∽△AOC．

∴

BE   

AC   

=

BO   

AO   

．

又∵OB=kAO，

由（2）的方法易得BE=BD．

∴

BD   

AC   

=k 

Answer 2

做BX平行于AC交MN于X。角DXB=角1=45度。 角2=45度。 所以角XBD=90度。 所以XB垂直于BD 所以AC垂直于BD。 ACO全等于XBO AC=XB 又因为 XB=BD（因为45度） 所有AC=BD

Answer 3

（1）解：AO=BD，AO⊥BD；

（2）证明：如图，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO=∠BEO．
又∵AO=OB，∠AOC=∠BOE，
∴△AOC≌△BOE．∴AC=BE．
又∵∠1=45°，∴∠ACO=∠BEO=135°．
∴∠DEB=45°．
∵∠2=45°，∴BE=BD，∠EBD=90°．
∴AC=BD．
延长AC交DB的延长线于F，如图．∵BE∥AC，∴∠AFD=90°．
∴AC⊥BD．

（3）解：如图2，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO=∠ACO．
又∵∠BOE=∠AOC，
∴△BOE∽△AOC．
∴BE AC =BO AO ．
又∵OB=kAO，
由（2）的方法易得BE=BD．
∴BD AC =k

Answer 4

1）AO = BD，AO⊥BD；
（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．
又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE，
∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE．
又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°．
∴∠DEB = 45°．
∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD． 延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．∴AC⊥BD．
（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．
又∵∠BOE = ∠AOC ，

∴△BOE ∽ △AOC．
又∵OB = kAO，
由（2）的方法易得 BE = BD．
∴ BD/AC=k