Question

高数题，求微分方程通解

Answer 1

这是一个一阶线性非齐次微分方程，其对应的齐次方程为y'+3y=0,分离变量可得dy/y=-3dx，上式两边取积分，有∫dy/y=-3∫dx，即lny=-3x+lnC，所以y=Ce^(-3x)，(C为任意常数)
应用常数变易法，设所求非齐次方程通解为y=u(x)e^(-3x)，则y'=u'(x)e^(-3x)-3*u(x)*e^(-3x)，
把y和y'代入原微分方程，可得u'(x)e^(-3x)=e^2x，即u'(x)=e^5x，再对上式求积分，可得u(x)=[(e^5x)/5]+C，代入所设通解中，可得到y={[(e^5x)/5]+C}*e^(-3x)，(C为任意常数)即为所求通解

Answer 2

由 y'+3y=0, 变成 dy/y=-3xdx, 积分后得 y=ce^(-3x) c为常数
令y=u(x)[e^(-3x)], (1)
则 y'=u'(x)[e^(-3x)]-3u(x)[e^(-3x)] (2)
将(1)(2)代入原方程 y'+3y=e^(2x)
u'(x)[e^(-3x)]-3u(x)[e^(-3x)] + 3u(x)[e^(-3x)]= e^(2x)
就是 u'(x)[e^(-3x)]= e^(2x),
即 u'(x)=e^(5x)
上式积分得 u(x)=[e^(5x)]/5+c, 将此u(x)代入(1)
求得通解为y={[e^(5x)]/5+c}[e^(-3x)],
就是 y=(e^2x)/5+ce^(-3x)