Question

求解两道简单数学函数题

(1) \设函数f(x)=ax³-3x+1（x∈R）,若对于x∈[-1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为___
(2) 若f(x)=-x²+2ax与g(x)=a／x+1在区间[1,＋∞）上都是减函数，则a的取值范围是_____

Answer 1

(1)（1）a=0时，-3x+1≥0在[-1,1]上不能恒成立
（2）a<0时，f’(x)=3ax^2-3<0,f(x)是减函数，其最小值为f(1).
若对x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立，则需f(1)≥0
即a-3+1≥0 a≥2 又因a<0 所以此时无解.
（3）a>0时，
f(x)=ax^3-3x+1≥0恒成立，x∈[-1,1]，
①x=0时，1≥0成立
②0<x≤1时，a≥（3x-1）/(x^3)
令g(x)= （3x-1）/(x^3),求导得g’(x)=（3x^3-(3x-1)•3x^2）/(x^6)=(-6x+3)/(x^4)
易知0<x<1/2时函数递增，1/2<x<1时递减，
所以g(x)最大值为g(1/2)=4 ∴a≥4
③-1≤x<0时，a≤（3x-1）/(x^3)
g(x)= （3x-1）/(x^3),求导得g’(x)=(-6x+3)/(x^4)
可知g(x)在-1<x<0时是增函数，其最小值为g(-1)=4
∴a≤4
由②知a≥4 ∴a=4.
综上知a=4.
(2)设x1,x2在区间[1,＋∞）上，且x1＜x2，由f(x)为减函数
得：f(x1)-f(x2)=(x2^2-x1^2)+2a(x1-x2)≥0
即（x2-x1）(x1+x2-2a)≥0
因为，x2-x1＞0，所以
x1+x2-2a≥0
所以a≤（x1+x2）/2
所以a≤1
同理：g（x1）-g（x2）
=a/(x1+1）-a/(x2+1）
=a（x2-x1）/(x1+1)(x2+1)≥0
所以a≥0
结果，a的取值为【0，1】
当a=0时，g（x）=0，为常数函数

Answer 2

(1)按f(x)=ax³-3x+1做（3次方）：若a=0不可能满足条件
当a<0时f减函数，须f（1）≥0，a-2≥0，矛盾无解
当a>0时f的导函数g=3ax²-3，解g=0得x=根号（1/a）或－根号（1/a），又g（0）=-3<0，知当a≥1时，f（根号（1/a））是最小值，须f（根号（1/a））≥0，根号（1/a）<=1/2，a≥4；当a<1时，f（1）是最小值，须f（1）≥0，a-2≥0，矛盾无解。所以a≥4。
按f(x)=ax²-3x+1做（2次方）：若a=0不可能满足条件
当a<0时，须f（1）≥0且须f（-1）≥0，a-2≥0，矛盾无解
当a>0时分3/（2a）≥1和3/（2a）<1两种情况，当3/（2a）≥1时须f（1）≥0，无解，
当3/（2a）<1时须f（3/（2a））≥0，即1－9/（4a）≥0，a≥9/4。所以a≥9/4。
（2）由f的减区间是[a,＋∞）推出a<=1，由g是减函数知a>0，所以0<a<=1。谢谢评价