Question

已知定义在R上的函数f(x)满足f(㏒2x)=x+a/x,a为常数

已知定义在R上的函数f(x)满足f(㏒2x)=x+a/x,a为常数。
（1）求函数f(x)的解析式及定义域
（2）如果f(x)为 偶函数。求a的值
（3）当f(x)为偶函数时，用单调性定义讨论f(x)的单调性

Answer 1

解:(1)设log2(x)=t
x=2^t
=>f(t)=2^t+a/(2^t)
=>f(x)=2^x+a/(2^x) (x∈R)

(2)依题意,f(x)=f(-x)=2^(-x)+a/[2^(-x)]
=>1/(2^x)+a(2^x)=2^x+a/(2^x)
转化为恒成立问题,易得a=1

(3)设x1<x2<0
f(x1)-f(x2)=...(运算省略）={(2^x1-2^x2)[2^(x1+x2)-1]}/2^(x1+x2)..................①
由x1<x2<0可得2^x2>2^x1,2^(x1+x2)<1
=>f(x1)-f(x2)<0
=>f(X1)<f(x2)
=>f(x)在(-∞,0)上递增
同理可证得f(x)在(0，+∞)上递减.

Answer 2

令㏒2x=t。。反解出x是多少t..表达出f(t)=...，再把t改成x。。就行了。。定义域就是log2x的值域。。表达式出来了，下面就可以自己做了吧

Answer 3

DSDFG