Question

1.已知定义在R上的函数F(X)对于任意的X,Y∈R,都有F(X+Y)+F(X-Y)=2F(X）F(Y),且F(0)≠0.若存在常数C,使得

F(C/2)=0,求证：对于X∈R,有F(X+C)=- F(X).
2.函数F(X)=(AX+B)/(X^2+1）是定义在（-1，1）上的奇函数，F(1/2)=2/5.解不等式F(T-1)+F(T)<0.

Answer 1

1．
y=c/2时
f(x+c/2)+f(x-c/2)=2f(x)f(c/2)
因f(c/2)=0
所以f(x+c/2)=-f(x-c/2)
令x-c/2=t可得x=t+c/2,代入上式
f(t+c)=-f(t),
即f(x+c)=-f(x).
2.
f(x)=(ax+b)/(1+x^2)是奇函数f(-x)=-f(x),所以b=0
f(1/2)=2/5,代入则a=1.

下面先证明函数f(x)=x/(1+x^2) 在（-1,1）上为增函数
设1>x1>x2>-1
f(x1)-f(x2)=[x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)]/[（1+x1^2）（1+x2^2）]
=[(x1-x2)(1-x1x2)]/[（1+x1^2）（1+x2^2）]
x1-x2>0,1+x1^2>0,1+x2^2>0,
-1<x1x2<1那么1-x1x2>0
所以f(x1)-f(x2)>0所以函数在（-1,1）上为增函数。

函数定义域是（-1，1）
所以-1<t-1<1 ……①
-1<t<1……②

f（t－1)+f(t)<0.
f（t－1)<-f(t)，因为是奇函数，
所以f（t－1)<f(－t)
因为f(x)=x/(1+x^2)为增函数
所以t-1<-t
t<1/2……③
①②③联立得0<t<1/2.

Answer 2

1.
令x=y=0，得：f(0)+f(0)=2f(0)^2，即f(0)^2-f(0)=0.
∵f(0)≠0，∴f(0)=1
令x=0 f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),
所以 f(y)=f(-y)， f(x)为偶函数，
从而 f(x+c)+f(x) = f(x+c)+f(-x)
= 2f[c/2+(x+c/2)] f[c/2-(x+c/2)]
=2f(c/2)f(x+c/2)=0,
所以有f(x+c)=-f(x)成立
2.
由题意可求得 F(X)=X/(X^2+1）
设x1＜x2，且x1,x2∈(-1,1)
f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2^2)-x1/(1+x1^2)
=[x2(1+x1^2)-x1(1+x2^2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
显然，上式中分母＞0，我们只需考查分子。
分子=x2+x2(x1^2)-x1-x1(x2^2)
=(x2-x1)-x1x2(x2-x1)
=(x2-x1)(1-x1x2)
因为x1,x2∈(-1,1)，所以x1x2＜1，即：1-x1x2＞0
又因为x1＜x2，所以x2-x1＞0
所以：当x2＞x1时，f(x2)＞f(x1)
即：在(-1,1)定义域内，f(x)是增函数。
因为 f(t－1)+f(t)<0.
所以 f(t－1)< -f(t)，因为是奇函数，f（t－1)<f(－t)
f(x)=x/(1+x^2)在定义域内为增函数
所以 -1<t-1<-t<1
所以不等式的解为：0＜t＜1/2