Question

过抛物线y^2=4x的焦点做直线L交抛物线与AB两点，若线段AB的中点的横坐标为3，|AB|等于？

要具体的解题过程，谢啦

Answer 1

焦点(1,0)
AB中点的横坐标为3,不等于1
所以AB不是垂直于x轴，所以斜率存在
AB是 y-0=k(x-1)
y=kx-k
y^2=4x
所以k^2x^2-2k^2x+k^2=4x
k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0
x1+x2=(2k^2+4)/k^2
AB中点的横坐标为3
所以(x1+x2)/2=3
(k^2+2)/k^2=3
k^2=1
x1+x2=(2+4)/1=6

准线x=-1
抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离
A和B横坐标分别是x1和x2
则A到准线距离=x1-(-1)=x1+1
B到准线距离=x2+1
|AB|=|AF|+|BF|=A到准线距离+B到准线距离
=x1+x2+2
=8

Answer 2

asd764996755 ，你好：

（^2表示平方）

抛物线y^2=4x 焦点(1, 0)
设直线方程为y=k(x-1)代入抛物线方程得
k^2(x-1)^2=4x
k^2(x^2-2x+1)=4x
k^2x^2-(2k^2+4)^2x+k^2=0, 设两个根为x(1),x(2)
则 x(1)+x(2)=(2k^2+4)/k^2, x(1)x(2)=1
AB中点的横坐标为3,则 x(1)+x(2)=6
(2k^2+4)/k^2=6, k^2=1
AB^2=[x(1)-x(2)]^2+[y(1)-y(2)]^2
y(1)-y(2)=k[x(1)-1]-k[x(2)-1]=k[x(1)-x(2)]
AB^2=(k^2+1)[x(1)-x(2)]^2
=(1+1){[x(1)+x(2)]^2-4x(1)x(2)}
=2[6^2-4]
=64

AB=8

Answer 3

根据抛物线定理，得|AB|=8