Question

cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ的证明过程

Answer 1

你的题目已出错。应该是异号。
用向量法可证明。
假设单位圆上有一个点A，它所表示的向量为(cosα,sinα)，还有一个点B，表示的向量为(cosβ,sinβ)，α和β为它们的夹角。
由向量坐标运算，OA向量与OB向量数量积为cosαcosβ+sinαsinβ
再由向量数量积定义，等于两个向量的模乘以cos夹角，单位圆上模是1，夹角是而所以cos(α－β）=cos(β-α)，cos(α－β）＝cosαcosβ+sinαsinβ

Answer 2

题设不成立
应该是cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
设α，β是锐角，作直径AB=1的圆O，C，D是位于AB两侧的圆周上的两点，连结CD，由托勒密定理有
CD•AB=BC•AD＋AC•BD． (*)
(1)设∠CAB=α，∠DAB=β(如图1)，则AC=cosα，BC=sinαAD=cosβ，BD=sinβ，CD=sin(α＋β)，代入(*)得
sin(α＋β)=sinαcosβ＋cosαsinβ，(1)(2)设∠CAB=α，∠DBA=β，α≥β，AC=cosα，BC=sinα，AD=sinβ，BD=cosβ，CD=cos(α－β)，
代入(*)得
cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ，(2)

由诱导公式易见(1)，(2)对任意角α，β都成立，若用－β替换(1)，(2)中的β，则可得
sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ，(3)
cos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ．(4)