Question

数学向量题

已知abcd是正方形，BE平行于AC，AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于F，使用向量法证明AF=AE。

Answer 1

以A为原点，AB方向为x轴正方向建立直角坐标系，
设A（0，0），B（a，0），C（a，a）
∵直线AC为y=x
∴直线BE为y=x-a
设E（b，b-a），F（m，0）
∵GE=AC=（√2）a
∴（b-a）²+（b-2a）²=2a²
∴a=（1-1/√3）b （1）
又∵F、C、E三点共线
∴kCF=kCE
∴a/（a-m）=（b-2a）/（b-a） （2）
由（1）、（2）得
m=（-2√3/3）b
于是AE²=b²+（b-a）²= 4b²/3
AF²=m²= 4b²/3
∴AF=AE

Answer 2

解：以A为原点，AB方向为x轴正方向，
建立如图所示的直角坐标系，
设A（0，0），B（a，0），C（a，a）
∵直线AC为y=x
∴直线BE为y=x-a
设E（b，b-a），F（m，0）
∵GE=AC=（√2）a
∴（b-a）²+（b-2a）²=2a²
∴a=（1-1/√3）b （1）
又∵F、C、E三点共线
∴kCF=kCE
∴a/（a-m）=（b-2a）/（b-a） （2）
由（1）、（2）得
m=（-2√3/3）b
于是AE²=b²+（b-a）²= 4b²/3
AF²=m²= 4b²/3
∴AF=AE

Answer 3

我只能用向量与几何一起做的