Question

将正整数按如图所示的规律排列，并把排在左起第m列，上起第n行的数记为amn， （1）试用m表示am1； （2）当

Answer 1

从左上角往右下角考虑，1，（1,2,3,4），（1,2,3,...,8,9),（1,2,3,..15,16),（1,2,3,4,...24,25),...,这些数都组成了一个正方形。而最后一个数，1,4,9,16,25...由于是正方形，必然处于正方形的顶角处，这样不是在第一行就是在第一列，通过观察发现，偶数个数组成的正方形，末尾数处于第一行，如4,16,36……奇数个数组成的正方形，末尾数处于第一列，如1,9,25。这样可以轻易的写出
第一行表达式：
am1=（m-1）^2+1(m为奇数时），am1=m^2(m为偶数时）
于是am1通项为：am1=[1+(-1)^m]*(m^2)/2+[1-(-1)^m]*[(m-1)^2+1]/2
第一列表达式：
a1n=n^2(n为奇数时），a1n=(n-1)^2+1(n为偶数时）
于是an1通项为：an1=[1+(-1)^n]*[(n-1)^2+1]/2+[1-(-1)^n]*(n^2)/2
下面给出a1n的证明过程（数学归纳法）
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显然，当n=1时，a11=[1+(-1)^1]*[(1-1)^2+1]/2+[1-(-1)^1]*(1^2)/2=1 成立
假设，当n=N时，a1N成立
则a(1,N+1)=a1N+1=N^2+1=[(N+1)-1]^2+1(N为奇数，即N+1为偶数）
a(1,N+1)=a1N+(4*N-1)=(N-1)^2+1+4*N-1=(N+1)^2(N为偶数，即N+1为奇数）(为什么是4*n-1,一目了然吧）
满足a1n的表达式，即a(1,N+1)成立
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通过第一行和第一列的表达式，可以很轻易的求出所有位置数的值，例如要求M,N（M是列，N是行）处的值
过程如下：
比较M和N的大小
1.若M大于N则先求出aM1的值（利用刚开始给出的表达式），若M为奇数
则aMN=aM1+N-1；若M为偶数aMN=aM1-N+1;
代入之前第一行aM1通项，有aMN=(M-1)^2+N(M为奇数时);aMN=M^2-N+1(M为偶数时)
2.若M小于N 则先求出a1N的值（利用刚开始给出的表达式），若N为奇数
则aMN=a1N-M+1；若N为偶数，则aMN=a1N+M-1
代入之前第一列通项，有aMN=N^2-M+1(N为奇数时);aMN=(N-1)^2+M(N为偶数时)
3.M=N时，用1,2两种情况都可以计算

对以上三种情况进行整合有通项公式为：
aMN=[1+(-1)^M]*[M^2-N+1]/2+[1-(-1)^M]*[(M-1)^2+N]/2 (M>=N)
aMN=[1+(-1)^N]*[(N-1)^2+M]/2+[1-(-1)^N]*[N^2-M+1]/2 (M<=N)
对于题目中给出的m=15，n=9的情况，m>n于是amn=（15-1）^2+9=205

Answer 2

解：观察表中正整数的排列规律，可知：

（1）当m为奇数时，am1=m2；

当m为偶数时，am1=（m-1）2+1；

当n为偶数时，a1n=n2；

当n为奇数时，a1n=（n-1）2+1；

（2）当m=1O，n=12时，A（m，n）是左起第10列的上起第12行的数，或第12行第10列上的数，

由（1）及表中正整数的排列规律可知，上起第12行的第1个数为122=144．

第12行中，自左往右从第1个数至第12个数依次递减1，

所以所求的A（m，n）为135；

（3）∵142=196，216-196=20，

∴m=15-（20-15）=10，n=14+1=15．

故m的值为10、n的值为15．