Question

高二数学抛物线问题，求解

抛物线C：y^2=36x。设直线y=kx+b与抛物线C交于两点A（x1,y1)、B(x1,y2),且|y1-y2|=a(a>0,且为常数）。过弦AB的中点M作平行于X轴的直线交抛物线于点D，连结AD、BD得到三角形ABD。
1、求证：a^2*k^2=16(1-kb)
2、求证：三角形ABD的面积为定值

Answer 1

1、证明：设x=my+n,则m=1/k,n=-b/k
代入y^2=36x得
y2-36my-36n=0
y1+y2=36m
y1y2=-36n
|y1-y2|^2=36^2*m2+144n=a2
1296/k2-144b/k=a2
化简得：a^2*k^2=144(9-kb) （与答案不一致，题目错，真是害人）
2、证明：(y1+y2)/2=18m
324m2=36x
x=9m2
D(9m2,18m)即D（9/k2,18/k)
点D到直线y=kx+b距离d=|b-9/k|/√(1+k2)
S=1/2a*|b-9/k|/√(1+k2)
S2 =a2/4|9-kb|2/k2(1+k2)
S2 =a4/576

Answer 2

1：由已知可得，y1和y2一定异号，设y1>0,y2<0,则|y1-y2|=6|根号x1+根号x2|=a,
所以x1+x2+2根号下x1*x2=a^2/36,再由韦达定理得，x1+x2=(36-2kb)/k^2,x1*x2=b^2/k^2,
所以a^2*k^2=16(1-kb)
2：三角形ABD的面积为弦AB的长*D到AB的距离除以2，用第一题的关系式就能证出是定值