Question

请教高中数学问题，求高手解答，要有详细步骤哦~

Answer 1

（1）
直线：x/a+y/b=0即bx+ay=0，右焦点F(c，0）。
距离d=|bc|/√(a²+b²)=1得b²c²=a²+b²。①
由椭圆性质知a²=b²+c²。②
结合①、②知(a²-c²)c²=2a²-c²。③
离心率e=c/a=√6/3④
由③、④解得a=√6，c=2，b=√2.
故所求椭圆的方程为C：x²/6+y²/2=1.

（2）由题意，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，E(a，0)。
则EM=(x1-a，y1)，EN=(x2-a，y2)。（以上省略向量符号，下同。)
从而EM·EN=x1x2-a(x1+x2)+a²+y1y2.①
椭圆C：x²+3y²=6.
直线l：y=k(x-2).
联立上式，得(3k²+1)x²-12k²x+12k²-6=0.
由韦达定理得：
x1+x2=12k²/(3k²+1)②
x1×x2=(12k²-6)/(3k²+1)③
y1×y2=k(x1-2)×k(x2-2)=k²(x1x2-2(x1+x2)+4)④
将②、③代入④，得y1×y2=-2k²/(3k²+1)。⑤
将②、③、⑤全都代入①式，得：
EM·EN=(k²(3a²-12a+10)+a²-6)/(3k²+1)。
若EM·EN为定值，设定值为m。
则(k²(3a²-12a+10)+a²-6)/(3k²+1)=m，得
(i)3a²-12a+10=3m
(ii)a²-6=m
联立(i)、(ii)，解得a=7/3.
此时，m=-5/9.
即EM·EN=-5/9.
综上，存在定点E(7/3,0)，使EM·EN为定值-5/9.