Question

已知函数f（x）=xlnx,g(x)=-x^2+ax-3对于一切x∈（0，正无穷），2f(x)大于等于g(x)恒成立

已知函数f（x）=xlnx,g(x)=-x^2+ax-3对于一切x∈（0，正无穷），2f(x)大于等于g(x)恒成立，则实数a的取值范围是？

Answer 1

设G(x)=2xlnx-(-x^2+ax-3)=xlnx+x^2-ax+3
G'(x)=2lnx+2+2x-a
G''(x)=2/x+2>0
G'(x)是一个单调递增的函数
又因为当x趋近于正无穷时，G'(x)趋近于正无穷。当x趋近于零时，G'(x)趋近于负无穷。
所以，一定存在一个点x0使得G'(x0)=0;又因为G'(x)是一个单调递增的函数，G'(x)先小于零后大于零，
所以G(x)在x=x0处取得最小值。
当x=x0时，以下两式成立则满足2f(x)大于等于g(x)恒成立。
2x0lnx0+x0^2-ax0+3>0 1
2lnx0+2+2x0=a 2
将2式带入1式得，2x0lnx0+x0^2+3-2x0lnx0-2x0-2x0*x0=3-2x0-x0*x0>0
得到：-3<x0<1,既0<x0<1
又因为a=2lnx0+2+2x0 （0<x0<1]
所以a的范围为（负无穷，4]

Answer 2

　　这样做：