Question

已知tan【(α+β)/2】=根号6/2,tanαtanβ=13/7,cos(α-β)的值。 网上有答案。

http://zhidao.baidu.com/question/48181257.html为什么“tana和tanb均为正数，tan[(a+b)/2]也为正数且大于1，所以a、b同象限，cos(a-b)为正”

Answer 1

tan【(α+β)/2】=√6/2，它就是正的嘛，而且√6/2就是大于1嘛。tan[(a+b)/2]也为正数且大于1好像是废话。也不用那么复杂吧。两边平方得，tan^2 【(α+β)/2】=6/4=3/2， [^2指平方]于是1+tan^2 【(α+β)/2】=1+3/2=5/2又，1+tan^2 【(α+β)/2】=1+{sin<strong>^2</strong> 【(α+β)/2】}/{cos<strong>^2</strong> 【(α+β)/2】}={sin<strong>^2</strong> 【(α+β)/2】+cos<strong>^2</strong> 【(α+β)/2】}/cos^2 【(α+β)/2】 [通分]=1/cos^2 【(α+β)/2】 [sin^2 【(α+β)/2】+cos^2 【(α+β)/2】=1]于是cos^2 【(α+β)/2】=2/5cos(α+β)=2cos^2 【(α+β)/2】-1 [余弦的二倍角公式]=4/5-1= -1/5 即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= -1/5……(1)另，tanαtanβ=13/7则有sinαsinβ/cosαcosβ=13/7cosαcosβ=(7/13)sinαsinβ……(2)结合(1)、(2)得cosαcosβ-sinαsinβ=(7/13)sinαsinβ-sinαsinβ= (-6/13)sinαsinβ= -1/5sinαsinβ=13/30于是cosαcosβ=(7/13)sinαsinβ=7/30于是cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=7/30+13/30=2/3