Question

求曲线积分∫xydx，曲线为圆周(x-a)^2+y^2=a^2(a>0)及x轴围成的在第一象限内的区域的整个边界（逆时针）

我拆开了两段来算，算出来的结果是(a^2)/2。

如果使用格林公式应该怎么算呢？

Answer 1

应是 “求曲线积分∫xyds”
设 x=a(1+cost), y=asint, 得 x'<t>=-asint, y'<t>=acost, (x'<t>)^2+(y'<t)^2=a^2.
在x轴上半圆直径线段部分，y=0，曲线积分为 0。
则 ∫<L>xyds = 0+a^3 ∫<0，π/2> sint(1+cost)dt = -a^3 ∫<0，π/2> (1+cost)dcost
= -a^3 [cost+(cost)^2/2]<0，π/2> = 3a^3/2.

格林公式用于对坐标的曲线积分，而这是对弧长的曲线积分。

追问

题目考察的是第二型曲线积分，没写错的。只是 ∫Q(x,y)dy 这部分=0了。

追答

求对坐标的（即第二型）曲线积分, 重新解答如下：
在x轴上半圆直径线段部分，y=0，xy的曲线积分为 0.
设参数方程 x=a(1+cost), y=asint, 得 x'=-asint.
则 ∫ xydx = ∫ a(1+cost)*asint*(-asint)dt
= a^3 ∫ (1+cost)[-(sint)^2]dt = a^3 ∫ (1+cost)[(cost)^2-1]dt
= a^3 ∫[ (cost)^3+(cost)^2-cost-1]dt
= a^3{ ∫(cost)^3dt+∫[(cost)^2-cost-1]dt}
= a^3{ ∫[1-(sint)^2]dsint+∫[(1/2)cos2t-cost-1/2]dt}
= a^3{ [sint-(sint)^3/3] + [(1/4)sin2t-sint-t/2]}
= a^3(-π/2) = -(π/2)a^3.

追问

谢谢你的耐心解答，我之前算的时候忘记把x求导了，不过这样的计算量显然有点大，对于像这题这样的封闭曲线，应用格林公式应该是很方便得出答案的，还请再麻烦你一下，怎么用格林公式解这道题？