Question

椭圆离心率取值范围的问题

求解答

Answer 1

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Answer 2

A(a,0)
B(0,b)
AB为y=(-b/a)x+b
PF1*PF2的最小值小于0的意思是两向量夹角可以是钝角
P(x,(-b/a)x+b)
PF1=(-c-x,(b/a)x-b)
PF2=(c-x,(b/a)x-b)
PF1*PF2=x^2-c^2+[(b/a)x-b]^2
=[1+(b/a)^2]x^2-(2b^2/a)x+b^2-c^2
令t=x/a
0<=t<=1
e=c/a
b^2/a^2=(a^2-c^2)/a^2=1-e^2
PF1*PF2=a^2[(1+1-e^2)t^2-2(1-e^2)t+(1-2e^2)]
=a^2[(2-e^2)t^2-2(1-e^2)t+(1-2e^2)]
存在t属于[0,1]使得这个式子小于0
令f=e^2,则0<f<1
即只需查看
(2-f)t^2-2(1-f)t+(1-2f)最小值是否是负的
首先2-f>0
所以开口向上
对称轴=(1-f)/(2-f)
1-f>0
2-f>1-f>0
对称轴小于1，大于0
所以最小值在顶点可以取到
t=(1-f)/(2-f)
(2-f)t^2-2(1-f)t+(1-2f)
=(1-f)^2/(2-f)-2(1-f)^2/(2-f)+(1-2f)<0
-(1-f)^2+(2-f)(1-2f)<0
f^2-3f+1<0
(3-根号5)/2<f<(3+根号5)/2
结合0<f<1
所以
(3-根号5)/2<f<1
根号[(3-根号5)/2]<e<1
(根号5-1)/2<e<1
选C
你C的根号太长了点吧。。。

Answer 3