Question

已知二次函数y=-x²+bx+c的图像经过点P（0，1）与Q（2，-3） 若点A是第一象限内该二

已知二次函数y=-x²+bx+c的图像经过点P（0，1）与Q（2，-3）

若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形。
1）求正方形ABCD的面积
2）联结PA、PD，PD交AB于点E，求证△PAD相似于△PEA

Answer 1

郭敦顒回答：
（1）二次函数y=-x²+bx+c的图像（抛物线）经过点P（0，1）与Q（2，-3）
代入二次函数得，1=c，－3=－4+2b+c
∴2b=0，b=0
∴二次函数为y=－x²+1，顶点即为P（0，1），对称轴为Y轴，亦即x=0。
若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形，则A 、B对称于Y轴，设点A的坐标为A（m，n），则
n=2m，将A（m，n）代入y=－x²+1得，
n=2m=－m²+1，
∴m²+2m－1=0，m=√2－1，n=2（√2－1）
正方形ABCD的面积=n²=4（3－2√2）=12－8√2=0.68629，
正方形ABCD的面积=12－8√2=0.68629。
2）联结PA、PD，PD交AB于点E，求证△PAD∽△PEA，
∵A的坐标为A（√2－1，2（√2－1）），P的坐标为（0，1），
∴PA=√[（√2－1）²+（2√2－3）²]=√[3－2√2+17－12√]，
PA=√（20－14√2），
D的坐标为D（1－√2，0）；
PD=√[（1－√2）²+1 ²]，
PD =√（4－2√2）；
AB交PO于K，则PE/PD=PK/PO=PK/1
PK=1－2（√2－1）=3－2√2，
∴PE=PD•PK=[√（4－2√2）] •[3－2√2]，
PE/PA=[√（4－2√2）] •[3－2√2]/[ √（20－14√2）]
=PA/PD=[√（20－14√2）]/[ √（4－2√2）]，
PE•PD=PA²=[（4－2√2）] •[3－2√2]=[（20－14√2）]=0.2010101268，
∵在△PAD与△PEA中，∠APD=∠EPA为同角——共用角，
两边对应成比例：PE/PA= PA/PD，
∴△PAD∽△PEA。
Y

P
E K
B A

D O C X

Answer 2

二次函数y=-x^2+bx+c的图像经过点P（0，1）与Q（2，-3）,
∴c=1,-4+2b+1=-3,b=0,
∴二次函数为y=-x^2+1,
设A(x,1-x^2),0<x<1,过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B(-x,1-x^2)，
分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C(-x,0)、D(x,0)，且所得四边形ABCD恰为正方形,
∴CD=AD,2x=1-x^2,x^2+2x-1=0,x=-1+√2，
1）正方形ABCD的面积=（2x)^2=4x^2=4(3-2√2）=12-8√2.
2）A(√2-1,2√2-2），D(√2-1,0），PD的斜率k1=-（√2+1),PA的斜率k2=1-√2，k1k2=1,
∴∠ADP=∠PAE,显然∠APD=∠APE,
∴△PAD∽△PEA.

Answer 3

哈哈哈哈啊哈哈哈