Question

如图，已知点D为等腰三角形ABC内的一点，∠ACB=90°，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上一点，且CE=CA……

Answer 1

证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，
∴BD=AD．
在△BDC与△ADC中，
( BD=AD
{ ∠CBD=∠CAD
( BC=AC
∴△BDC≌△ADC，
∴∠DCB=∠DCA，
又∵∠DCB+∠DCA=90°，
∴∠DCB=∠DCA=45°．
由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°，
∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，
∴∠BDM=∠EDC，
∴DE平分∠BDC；
（2）连接MC．
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．
又∵∠EMC=180°﹣∠DMC=180°﹣60°=120°，
∠ADC=180°﹣∠MDC=180°﹣60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM．
在△ADC与△EMC中，，
∴△ADC≌△EMC，
∴ME=AD=BD．

参考：http://www.mofangge.com/html/qDetail/02/c2/201207/ekcvc202203086.html

Answer 2

(1)∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
又∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠DAB=∠DBA=30°,
∴DA=DB，
∴△ACD≌△BCD（SAS）
∴∠ADC=∠BDC
又∵∠ADB=180°-∠DAB-∠DBA=120°
∴∠BDE=60°，∠BDC=(360-120)/2=120°，
∴∠CDE=60°=∠BDE，
即DE平分∠BDC。

（2）连结CM，
则△CDM等边，
∴∠AMC=∠EDC=60°，
∵CA=CE，
∴∠CAE=∠CEA
∴△CAM≌△CED（AAS），
∴AM=ED，
∴AD=EM，
又∵AD=BD，
∴BD=EM