设抛物线y^2 =2px (p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的

设抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC‖x轴.求证直线AC经过原点O.... 设抛物线y^2 =2px (p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC‖x轴.求证直线AC经过原点O. 展开
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唐卫公
2013-12-18 · TA获得超过3.7万个赞
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F(p/2, 0)

先考虑特殊情况, 即AB与x轴垂直;不妨设A在第一象限

A(p/2, p), B(p/2, -p)

准线x = -p/2, C(-p/2, -p)

AC的斜率为(-p - p)/(-p/2 - p/2) = 2

AC的方程为: y + p = 2(x + p/2), y = 2x

x = 0, y = 0, 即AC过原点


此外设A(a²/(2p), a), B(b²/(2p), b), C(-p/2, b)

其余见图.


y = 2px/a也过原点

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