Question

设A是3阶实对称矩阵，A的秩为2，且AB+2B=0。

B为 1 1 0
0 2 1
-1 1 1
记B=（r1,r2,r3),由AB+2B=0，A(r1,r2,r3)=-2(r1,r2,r3)即，特征值=-2，r1，r2是关于-2的线性无关的特征向量。
问题：这里的特征向量能是r1和r3。 或者r2和r3 吗？为什么？为什么两个非零特征值都是-2？

Answer 1

由秩等于2知0是A的特征值

而B的1,2列是A的属于特征值

-2的两个线性无关的特征向量

所以特征值-2至少是2重的

因为A是3阶方阵有3个特征值

所以-2最多是2重特征值

即A的特征值为0,-2,-2

后面说的与-2是二重特征值没关系

简介

特征值是指设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

Answer 2

r1和r3。 或者r2和r3 都线性无关, 都可以

属于某特征值的线性无关的特征向量的个数 <= 特征值的重数
因为 -2 有两个线性无关的特征向量
所以 -2 至少是 2重特征值
再由 r(A)=2 知 0 是A 的特征值
故 A 的特征值为 0, -2, -2

Answer 3

（B-lamdaE）=0
(lamda-2)^2*lamda=0
所以2是重特征值，另一个是0.