Question

非齐次线性方程组所有解向量的极大线性无关向量的个数为n-r+1，求解释？

Answer 1

就是说所有解向量组成矩阵的秩为n-r+1。因为如果一个非齐次线性方程组有解，那么解的个数是无穷多个的。但是这无穷多个解里面只有n-r+1个是线性无关的。

证明：显然 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 都是AX=b的解。

设 k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)=0

则 (k0+k1+...+kn-r)x0+k1a1+...+kn-ran-r=0 (*)

等式两边左乘A, 因为 Ax0=b, Aai=0

所以有 (k0+k1+...+kn-r)b=0。

含义

利用勘根法可以找出某个代数方程的解；但若是代数方程组则较为复杂，有时候甚至很难确定一个代数方程组是否具有复数解（见希尔伯特零点定理）。即使如此，对于一些具有有限个复数解的多项式方程组而言，我们已经找到解的方法，并且也已充分了解这种系统的行为。代数方程组的研究是代数几何里重要的一环，而代数几何正是现代数学里的其中一个分枝。

Answer 2

这需要两个结论:

设x0是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,α1,α2,...,αn-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,证明
1.x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量
2.AX=b的任意解X可表示成：
X=k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)

证明: (1) 显然 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 都是AX=b的解.
设 k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)=0
则 (k0+k1+...+kn-r)x0+k1a1+...+kn-ran-r=0 (*)
等式两边左乘A, 因为 Ax0=b, Aai=0
所以有 (k0+k1+...+kn-r)b=0.
因为b是非零向量, 所以 k0+k1+...+kn-r=0
所以 (*) 式化为 k1a1+...+kn-ran-r=0.
又因为 α1,α2,...,αn-r 线性无关
所以 k1=k2=...=kn-r=0
进而有 k0=0
所以 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 线性无关
故 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量

(2) 由线性方程组解的结构知, Ax=b的任一解可表示为
x0+k1α1+k2α2+...+kn-rαn-r
= (1-k1-k2-...-kn-r)x0+k1(x0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
令 k0=1-k1-k2-...-kn-r
则 Ax=b的任一解可表示为 X=k0X0+k1(x0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
其中 k0+k1+...+kn-r=1.

Answer 3

也就是说所有解向量组成矩阵的秩为n-r+1
因为如果一个非齐次线性方程组有解，那么解的个数是无穷多个的。但是这无穷多个解里面只有n-r+1个是线性无关的。不知道你明白了没有