Question

已知a>0,b>0且a+b=1,求证下列不等式(1)ab≤1/4;(2)(1+1/a)(1+1/b)≥9

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Answer 1

1. 设a=1/2-x，则b=1/2+x，ab=(1/2-x)(1/2+x)=1/4-x²≤1/4

2. (1+1/a)(1+1/b)=1+1/a+1/b+1/ab=1+(a+b)/ab+1/ab=1+1/ab+1/ab=1+2/ab≥1+2/4=9

追问

(1)为何设置为设a=1/2-x，则b=1/2+x    

     1/4- x^²衍变为ab≤1/4

 

(2)1+2/ab≥1+2/4=9 如何衍变的

     谢谢

追答

因为a+b=1,a＞0，b＞0，所以a和b在数轴在关于1/2对称，而且观察到1/2*1/2=1/4，所以设a=1/2-x,b=1/2+x
第二小问用到第一小问的结果，ab≤1/4,所以1/ab≥4

追问

（2）应为1+(2/1/4)=9

追答

1+2/ab≥1+2/(1/4)=9

1+2/ab≥1+2/(1/4)=9

Answer 2

(1)(a+b)^2-4ab=(a-b)^2>=0,
∴ab<=(1/4)(a+b)^2=1/4.
(2)(1+1/a)(1+1/b)
=1+1/a+1/b+1/(ab)
=1+(a+b)/a+(a+b)/b+1/(ab)
=3+b/a+/b/a+1/(ab)
a>0,b>0,
∴b/a+a/b>=2,0<ab<=1/4,1/(ab)>=4,
∴(1+1/a)(1+1/b)
>=3+2+4=9.

追问

(1)如何考虑到此式解)(a+b)^2-4ab=(a-b)^2>=0,
∴ab=2
谢谢

追答

谢谢指正。