Question

已知f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是减函数,证明f(x)在(-∞,0)上是减函数

Answer 1

解设x1，x2属于(-∞,0)，且x1＜x2
则f(x1)-f(x2)
=-f(-x1)-[-f(-x2)]
=f(-x2)-f(-x1)
由x1，x2属于(-∞,0)，且x1＜x2＜0
即-x1＞-x2＞0
由f(x)在(0,+∞)上是减函数
即f(-x1）＜f(-x2）
即f(-x2)-f(-x1)＞0
即f(x1)-f(x2)＞0
故f(x)在(-∞,0)上是减函数

Answer 2

奇函数：
f(-x)=-f(x),于是-f'(-x)(注意这里是复合函数求导，注意前面的负号)=-f'(x);
即f'(-x)=f'(x);
f(x)在(0,+∞)上是减函数,得f'(x)<0;
于是f'(-x)=f'(x)<0。
f(x)在(-∞,0)上是减函数