Question

设函数f(x)=mx^2-mx-1(m属于R),若对于x∈[-2,2],f(x)<-m+5+恒成立,求m的取值范围

请注意看清楚，是对于x∈[-2,2]。谢谢！

Answer 1

当该函数为一元一次函数，即m=0时,对于x属于[1,3],恒有f(x)=-1<-m+5=5.

当该函数为一元二次函数， 即m不等于0时，
由f(x)=mx^2-mx-1<-m+5恒成立得
m(x^2-x+1)<6恒成立
又设函数g(x)=x^2-x+1得知，该函数g(x)对于x属于[1,3]恒大于0。
所以要使f(x)<-m+5恒成立，则只要对于x属于[1,3]时使m<6/(x^2-x+1)恒成立即可。
所以只要对于x属于[1,3]时使m恒小于[6/(x^2-x+1)]的最小值即可
而对于函数g(x)，当x属于[1,3]时，该函数的图像是单调递增的，
所以当x属于[1,3]时，g(x)max=g(3)=7
所以[6/(x^2-x+1)]的最小值为6/g(x)max=6/7
即要使f(x)<-m+5恒成立，则只要对于x属于[1,3]时使m<6/7恒成立即可

所以综上所述，m的取值范围为（负无穷，6/7）

Answer 2

解：1、m=0时，fx=-1小于5，恒成立。（此为特殊情况，单独拿出来，fx为常函数）
2、m不等于0时，fx为二次函数，图形为抛物线，要使mx2-mx+m-6在所给区间上小于0，
因为 抛物线对称轴为x=1/2。①抛物线开口向下时，要想满足条件，必须整体位于x轴下方，
即 m小于0，且与x轴无交点，判别式要小于0，得m2-4m(m-6)小于0，解得m小于8，综合m小
于0。②抛物线开口向上时，即m大于0时，要让x=-2和x=2在抛物线与x轴交点的内部。（可
结合草图），把这两点代入，均小于0即。解得，m小于6/7，综合m大于0且小于6/7。
现综合以上两大情况分析得，m的范围是m小于6/7。