Question

用导数求函数的单调性，详细步骤，

F(x)=-ln(1+x)+(xlnx)/(1+x)的单调性

Answer 1

答：
f(x)=-ln(1+x)+(xlnx) /(1+x)
求导：
f'(x)=-1/(x+1) +(lnx+1) /(1+x) -(xlnx)/(1+x)²
f'(x)=(lnx) /(1+x)-(xlnx) /(1+x)²
f'(x)=(xlnx+lnx-xlnx) /(1+x)²
f'(x)=(lnx) /(1+x)²
解f'(x)=0得：lnx=0
所以：x=1
因为：定义域满足x>0
所以：
0<x<1时，f'(x)<0，f(x)是单调递减函数
x>1时，f'(x)>0，f(x)是单调递增函数

Answer 2

F'(x)=-1/(1+x)+[(1+lnx)(1+x)-xlnx]/(1+x)^2
=[-(1+x)+(1+lnx)(1+x)-xlnx]/(1+x)^2
=[(1+x)lnx-xlnx]/(1+x)^2
=lnx/(1+x)^2
由F'(x)=0得lnx=0,即x=1
定义域为x>0,
当x>1时，F'(x)>0，函数单调增；
当0<x<1时，F'(x)<0,函数单调减。

Answer 3

对给出的函数进行求导，如果导函数恒大于零或恒小于零，则该函数单调，导函数恒大于零，单调递增，恒小于零，单调递减。如果导函数与x轴有交点，则看如果导函数某一段的值大于零，则增，小于零，则减
根据上面可以大致画出函数的变化图像，值域范围就能看出来了
希望能解决您的问题。

Answer 4

F'(x)=-1/(1+x)+[(lnx+1)(1+x)-xlnx]/(1+x)²
=-1/(1+x)+(lnx+1+x)/(1+x)²

=lnx/(1+x)²
显然分母大于0
所以
0<x<1，F'(x)<0，F(x)递减
x>1，F'(x)>0，F(x)递增

追问

非常感谢，