Question

已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a．（1）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（2）若存在x∈R，使得f

已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a．（1）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（2）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=0时，不等式即|x+1|≥2|x|， 平方可得 +2x+1≥4 ，解得﹣ ≤x≤1， 故不等式的解集为[﹣ ，1]． （2）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立， 即|x+1|﹣2|x|≥a． 设h（x）=|x+1|﹣2|x|= ． 故当x≥0时，h（x）≤1． 当﹣1≤x＜0时，﹣2≤h（x）＜1． 当x＜﹣1时，h（x）＜﹣2． 综上可得h（x）的最小值为1． 由题意可得1≥a，故实数a的取值范围为（﹣∞，1]．