Question

已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f

已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x 2 +4x+1≥0， 解得x≤-1 或x≥- 1 3 ∴原不等式的解集为 （-∞，-1]∪[- 1 3 ，+∞） （Ⅱ）由f（x）≤g（x） 得 a≥|2x+1|-|x|，令 h（x）=|2x+1|-|x|，即 h（x）= -x-1  ， x≤- 1 2 3x+1  ， - 1 2 ＜x＜0 x+1  ， x≥0 ， 故 h（x） min =h（- 1 2 ）=- 1 2 ，故可得到所求实数a的范围为（- 1 2 ，+∞）．