Question

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D在AB边上，∠EDF=60°．（1）当点D为AB中点时，且∠EDF的两边分别交

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D在AB边上，∠EDF=60°．（1）当点D为AB中点时，且∠EDF的两边分别交线段AC、BC于点E、F，如图1，求证：DE=DF；（2）当点D不是AB中点，且ADAB=13时，①若∠EDF的两边分别交线段AC、BC于点E、F，如图2，求DEDF；②若∠EDF的边DE交线段AC于点E，边DF交BC延长线于点F，如图3，直接写出DEDF的值．

Answer 1

（1）连接CD，过点D作DG⊥AC于点G，DH⊥BC于点H，，
∴∠DGE=∠DHF=90°，
∵AC=BC，点D为AB中点，
∴CD平分∠ACB，
∴DG=DH．
∵∠ACB=120°，∠EDF=60°，
∴∠DEC+∠DFH=180°，
∵∠DEC+∠DEG=180°，
∴∠DFH=∠DEG，
在△DGE和△DHF中，

∠DGE＝∠DHF ∠DEG＝∠DFH DG＝DH

，
∴△DGE≌△DHF（AAS），
∴DE=DF

（2）①过点D作DG⊥AC于点G，DH⊥BC于点H，，
∴∠DGE=∠DHF=∠DGA=∠DHC=90°．
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∴△ADG∽△BDH，
∵

AD

AB

=

1

3

，
∴

DG

DH

=

AD

BD

=

1

2

，
∵∠DGE=∠DHF，∠DFH=∠DEG，
∴△DGE∽△DHF，
∴

DE

DF

=

DG

DH

=

1

2

，
②如图3作DG⊥AC与G点，DH⊥BC与H点，

DE

DF

=

1

2

．