Question

如图，经过原点的两条直线l1、l2分别与双曲线y=kx（k≠0）相交于A、B、P、Q四点，其中A、P两点在第一象限

如图，经过原点的两条直线l1、l2分别与双曲线y=kx（k≠0）相交于A、B、P、Q四点，其中A、P两点在第一象限，设A点坐标为（3，1）．（1）求k值及B点坐标；（2）若P点坐标为（a，3），求a值及四边形APBQ的面积；（3）若P点坐标为（m，n），且∠APB=90°，求P点坐标．

Answer 1

（1）把A（3，1）代入y=

k

x

得k=3×1=3，
∵经过原点的直线l₁与双曲线y=

k

x

（k≠0）相交于A、B、
∴点A与点B关于原点对称，
∴B点坐标为（-3，-1）；
（2）把P（a，3）代入y=

3

x

得3a=3，解得a=1，
∵P点坐标为（1，3），
∵经过原点的直线l₂与双曲线y=

k

x

（k≠0）相交于P、Q点，
∴点P与点Q关于原点对称，
∴点Q的坐标为（-1，-3），
∵OA=OB，OP=OQ，
∴四边形APBQ为平行四边形，
∵AB²=（3+3）²+（1+1）²=40，PA²=（1+1）²+（3+3）²=40，
∴AB=PQ，
∴四边形APBQ为矩形，
∵PB²=（1+3）²+（3+1）²=32，PQ²=（3-1）²+（1-3）²=8，
∴PB=4

2

，PQ=2

2

，
∴四边形APBQ的面积=PA?PB=2

2

?4

2

=16；
（3）∵四边形APBQ为平行四边形，
而∠APB=90°，
∴四边形APBQ为矩形，
∴OP=OA，
∴m²+n²=3²+1²=10，
而mn=3，
∵（m+n）²-2mn=10，
∴（m+n）²=16，解得m+n=4或m+n=-4（舍去），
把m、n看作方程x²-4x+3=0的两根，解得m=1，n=3或m=3，n=1（舍去），
∴P点坐标为（1，3）．