Question

设函数f（x）=ax2+bx+clnx，（其中a，b，c为实常数且a＞0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程

设函数f（x）=ax2+bx+clnx，（其中a，b，c为实常数且a＞0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-3．（Ⅰ） 若函数f（x）无极值点且f'（x）存在零点，求a，b，c的值；（Ⅱ） 若函数f（x）有两个极值点，证明f（x）的极小值小于?34．

Answer 1

（Ⅰ）解：求导函数可得f ′(x)＝2ax+b+

c

x

，
由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-3，可得得

f(1)＝0 f ′(1)＝3

，
即

a+b＝0 2a+b+c＝3

，∴

b＝?a c＝3?a

．
此时f（x）=ax²-ax+（3-a）lnx，f ′(x)＝2ax?a+

3?a

x

＝

2ax2?ax+3?a

x

；
由f（x）无极值点且f'（x）存在零点，得a²-8a（3-a）=0（a＞0）
解得a＝

8

3

，于是b＝?

8

3

，c＝?

1

3

．…（7分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f ′(x)＝

2ax2?ax+3?a

x

 (x＞0)，要使函数f（x）有两个极值点，只要方程2ax²-ax+3-a=0有两个不等正根，